Đề bài
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 5}{- 3} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $d_{2}:\dfrac{x - 3}{- 1} = \dfrac{y - 3}{- 2} = \dfrac{z + 2}{1}$; và mặt phẳng $(P):x + 2y + 3z - 5 = 0$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{3}$
$\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z - 1}{3}$
$\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{3}$
$\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{1}$
Phương pháp giải
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và $d_{1},d\,\,\, và\,\,\, d_{2}$. Biểu diễn vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$theo hai tham số
Do $\left. d\bot(P)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{u_{d}} = \overset{\rightarrow}{n_{P}} \right.$
Lời giải chi tiết
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và $d_{1},d\,\,\, và\,\,\, d_{2}$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {M = \left( {3 - m;3 - 2m; - 2 + m} \right)} \\ {N = \left( {5 - 3n; - 1 + 2n;2 + n} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MN} = \left( {m - 3n + 2;2m + 2n - 4; - m + n + 4} \right) \right.$
Do $\left. d\bot(P)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{d}} = \overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left( {1;2;3} \right) \right.$
$\left. \overset{\rightarrow}{MN} = k\overset{\rightarrow}{u_{d}}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m - 3n + 2 = k} \\ {2m + 2n - 4 = 2k} \\ {- m + n + 4 = 3k} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 2} \\ {n = 1} \\ {k = 1} \end{array} \right.\Rightarrow M\left( {1; - 1;0} \right),\, \right.$
Vậy đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = \left( {1;2;3} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{3}$