Đề bài
Bác Hoa có mảnh đất dạng hình vuông $ABCD$ diện tích $64$ $\text{m}^{2}$, bác dự định chia mảnh đất này thành bốn phần như hình vẽ, trong đó phần đất dạng tam giác $CMN$ có diện tích không thay đổi là 2 $\text{m}^{2}$ sẽ dựng mái che để nghỉ ngơi, hai phần đất dạng tam giác $ADN$ và $ABM$ để trồng rau, phần còn lại để quây nuôi gà. Em hãy xác định giúp bác Hoa vị trí của các điểm $M$, $N$ trên cạnh $BC$, $CD$ sao cho diện tích đất để trồng rau là lớn nhất.
Phương pháp giải
Đặt MC = x, NC = y, tìm điều kiện xác định của x, y.
Biến đổi giả thuyết đề bài theo x, y.
Dùng định lý Cauchy để tìm max.
Lời giải chi tiết
$AB = BC = CD = DA = 4$ (cm).
Đặt $MC = x$, $NC = y$ ($0 < x;y < 8$).
Vì diện tích $\bigtriangleup CMN$ là 2 $\text{m}^{2}$ nên $xy = 4$.
Diện tích trồng rau là
$\dfrac{1}{2} \cdot 8\left( {8 - x} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot 8\left( {8 - y} \right) = 64 - 4\left( {x + y} \right)$
Vì $\left( {\sqrt{x} - \sqrt{y}} \right)^{2} \geq 0$ nên $x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{4} = 4$
Diện tích trồng rau lớn nhất là $48$ $\text{m}^{2}$, khi $x = y = 2$.
Vậy $M \in BC$, $N \in CD$ sao cho $MC = NC = 2$ m thì diện tích trồng rau lớn nhất.