Đề bài
Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a. Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp đường tròn tâm I
b. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phương pháp giải
a) Sử dụng 2 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
b) Chứng minh $\widehat{OCI} = 90^{0}$
Lời giải chi tiết
a. Ta có hai góc $\widehat{ACB} = \widehat{AEB} = 90^{0}$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác FCDE có $\left. \widehat{FC\text{D}} = \widehat{F\text{ED}} = 90^{0}\Rightarrow\widehat{FC\text{D}} + \widehat{F\text{ED}} = 180^{0} \right.$
Suy ra tứ giác FCDE nội tiếp đường tròn đường kính DF.
b. Vì $\bigtriangleup CDF$vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp$\bigtriangleup CDF$ là trung điểm cạnh FD
Suy ra I là trung điểm FD và IC = IF
Suy ra $\bigtriangleup ICF$cân tại I nên góc IFC = góc ICF(1)
Vì $\bigtriangleup OCB$cân tại O nên góc OBC = góc OCB (2)
Vì $AE\bot BF,BC\bot AF$nên D là trực tâm $\bigtriangleup ABF$nên $FD\bot AB$
$\widehat{OBC} = \widehat{IFC}$ (cùng phụ góc FAB)(3)
Từ (1), (2), (3) ta được $\widehat{ICF} = \widehat{OCB}$
$\widehat{OCB} + \widehat{BCI} = \widehat{ICF} + \widehat{BCI} = 90^{\circ}$
Nên $\widehat{OCI} = 90$hay $OC\bot CI$
Vậy CI là tiếp tuyến của (O)