Đề bài
Cho điểm $M\left( {2;1;0} \right)$ và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 1}{- 1} = \dfrac{z}{2}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ cắt và vuông góc với $\Delta$ có véc tơ chỉ phương:
$\left( {2; - 1; - 1} \right)$. Β. $\left( {2;1; - 1} \right)$. С. $\left( {1; - 4;2} \right)$.
$\left( {1; - 4; - 2} \right)$.
Phương pháp giải
$\left. d\bot\Delta\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u_{d}}.\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = 0 \right.$
Chuyển phương trình chính tắc của $\Delta$về dạng phương trình tham số t.
Biểu diễn giao điểm H của d và $\Delta$, viết vectơ $\overset{\rightarrow}{MH}$ theo ẩn t
Do $\left. d\bot\Delta\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u_{d}}.\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = 0 \right.$ nên tìm được t, tìm được $\overset{\rightarrow}{MH}$
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = - 1 + t} \\ {z = - t} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \left( {2;1; - 1} \right) \right.$
Gọi H là giao điểm của d và $\Delta$$\left. \Rightarrow H \in \Delta\Rightarrow H\left( {1 + 2t;t - 1; - t} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MH} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right) \right.$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{d}} = \overset{\rightarrow}{MH} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right)$
Do $\left. d\bot\Delta\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u_{d}}.\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = 0\Leftrightarrow\left( {2t - 1;t - 2; - t} \right).\left( {2;1; - 1} \right) = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + t - 2 + t = 0\Leftrightarrow 6t - 4 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MH} = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{- 4}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1; - 4; - 2} \right) \right.$
Vậy $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\left( {1; - 4; - 2} \right)$