Đề bài
Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,1% . Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là 5% (tức là trong số những người không bị bệnh có 5% số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phương pháp giải
Sử dụng công thức Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Người đó mắc bệnh”, B là biến cố: “Người đó có xét nghiệm dương tính”
Ta có: $\left. P(A) = 0,001\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = 0,999;P\left( B \middle| A \right) = 1;P\left( B \middle| \overline{A} \right) = 0,05 \right.$
Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là:
$P\left( A \middle| B \right) = \dfrac{P\left( B \middle| A \right).P(A)}{P\left( B \middle| A \right).P(A) + P\left( B \middle| \overline{A} \right).P\left( \overline{A} \right)} \approx 0,0196 = 1,96\%$