Đề bài
Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6km/h (xem hình vẽ dưới đây).
Khi hàng được chuyển đến kho nhanh nhất thì độ dài đoạn$BM.\sqrt{5}$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp hàm số.
Gọi độ dài MB là x, biểu diễn các yếu tố khác theo x.
Lời giải chi tiết
Gọi độ dài đoạn MB là $x,(0\le x\le 7,km)\Rightarrow MC=7-x$
Tam giác ABM vuông tại B $\Rightarrow AM=\sqrt{B{{M}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+25}$
Thời gian người đó đi từ A đến C: $\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+25}}{4}+\frac{7-x}{6}$
Xét hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+25}}{4}+\frac{7-x}{6},x\in [0;7]$
$y'=0\Leftrightarrow \frac{x}{4\sqrt{{{x}^{2}}+25}}-\frac{1}{6}=0\Leftrightarrow 3x=2\sqrt{{{x}^{2}}+25}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+100\Leftrightarrow {{x}^{2}}=20\Leftrightarrow x=2\sqrt{5}$
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để người đó đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là $2\sqrt{5}$
Vậy giá trị $BM.\sqrt{5}=2\sqrt{5}.\sqrt{5}=10$