Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng định lí Pytago và định lí Côsin trong tam giác để tính góc.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của C'D', AB.

Xét $\Delta MIC\text{'}$ và $\Delta MID\text{'}$ có MI chung, IC' = ID'

nên $\Delta MIC\text{'} = \Delta MID\text{'}$ (2 cạnh góc vuông)

$\left. \Rightarrow MC\text{'} = MD\text{'}\Rightarrow\Delta MC\text{'}D\text{'} \right.$ cân tại E $\left. \Rightarrow ME\bot C\text{'}D\text{'} \right.$

Chứng minh tương tự ta có $MF\bot AB$.

Xét (MC'D') và (MAB) có M chung, $\left\{ \begin{array}{l} {C\text{'}D\text{'} \subset \left( {MC\text{'}D\text{'}} \right)} \\ {AB \subset \left( {MAB} \right)} \\ {C\text{'}D\text{'}//AB} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow\left( {MC\text{'}D\text{'}} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx//C\text{'}D\text{'}//AB \right.$.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l} {ME\bot C\text{'}D\text{'}} \\ {MF\bot AB} \end{array} \right.$ (cmt) $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} {ME\bot Mx} \\ {MF\bot Mx} \end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {MC\text{'}D\text{'}} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx} \\ {ME \subset \left( {MC\text{'}D\text{'}} \right),ME\bot Mx} \\ {MF \subset \left( {MAB} \right),MF\bot Mx} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow\angle\left( {\left( {MC\text{'}D\text{'}} \right);\left( {MAB} \right)} \right) = \angle\left( {ME;MF} \right) \right.$.

Giả sử ABCD.A'B'C'D' là khối lập phương có cạnh bằng 1

Ta có $\left. MO = 2MI\Rightarrow MI = \dfrac{1}{3}OI = \dfrac{1}{6} \right.$.

Áp dụng định lí Pytago ta có:

$MC\text{'} = \sqrt{MI^{2} + IC\text{'}^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} + \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{19}}{6}$

$ME = \sqrt{MC\text{'}^{2} - EC\text{'}^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{19}}{6} \right)^{2} - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{6}$

Tương tự ta có

$MB = \sqrt{MJ^{2} + JB^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} + \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{43}}{6}$

$MF = \sqrt{MB^{2} - BF^{2}} = \dfrac{\sqrt{34}}{6}$

Dễ thấy BC'EF là hình bình hành nên $EF = BC\text{'} = \sqrt{2}$.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác MEF ta có

$cos\widehat{EMF} = \dfrac{ME^{2} + MF^{2} - EF^{2}}{2ME.MF} = \dfrac{\left( \dfrac{\sqrt{10}}{6} \right)^{2} + \left( \dfrac{\sqrt{34}}{6} \right)^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2}}{2.\dfrac{\sqrt{10}}{6}.\dfrac{\sqrt{34}}{6}} = \dfrac{- 7\sqrt{85}}{85}$

Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn, có giá trị côsin là số dương

$\left. \Rightarrow\cos\angle\left( {\left( {MC'D} \right);\left( {MAB} \right)} \right) = \dfrac{7\sqrt{85}}{85} \right.$