Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \ {y = - 2 + t} \ {z = 2} \end{array} \right.$, $d_{2}:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{- 1} = \dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - 3z = 0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của $d_{1}$ và $(P)$, đồng thời vuông góc với $d_{2}$ ?
$2x - y + 2z - 13 = 0$
$2x - y + 2z + 22 = 0$
$2x - y + 2z + 13 = 0$
$2x + y + 2z - 22 = 0$
Phương pháp giải
Gọi mặt phẳng cần tìm là $(Q):ax + by + cz + d = 0$
Tìm giao điểm của $d_{1}\,\,\, và\,\,\,(P)$
Do $\left. (Q)\bot d_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{Q}} = \overset{\rightarrow}{u_{d_{2}}} \right.$
Lời giải chi tiết
Gọi mặt phẳng cần tìm là $(Q):ax + by + cz + d = 0$
Gọi M là giao điểm của $d_{1}\,\,\, và\,\,\,(P)$$\left. \Rightarrow M:\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = - 2 + t} \\ {z = 2} \\ {2x + 2y - 3z = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = - 1} \\ {z = 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow M\left( {4; - 1;2} \right) \right.$
Do $\left. (Q)\bot d_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{Q}} = \overset{\rightarrow}{u_{d_{2}}} = \left( {2; - 1;2} \right) \right.$
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n_{Q}} = \left( {2; - 1;2} \right)$ là: $\left. 2\left( {x - 4} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\Leftrightarrow 2x - y + 2z - 13 = 0 \right.$