Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 1}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$.
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{- 1}$
$\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{1}$
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{- 3} = \dfrac{z - 2}{1}$
Phương pháp giải
Gọi M là giao điểm d và $\Delta$. Biểu diễn M, $\overset{\rightarrow}{AM}$ theo tham số
Do $\left. \Delta\bot d\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{u_{d}} = 0 \right.$. Từ đó tìm được tham số
Lời giải chi tiết
Gọi giao điểm của d và $\Delta$ là M$\left. \Rightarrow M\left( {t + 1;t;2t - 1} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {t;t;2t - 3} \right) \right.$
$\left. \Delta\bot d\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{u_{d}} = 0\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AM}.\overset{\rightarrow}{u_{d}} = 0\Leftrightarrow\left( {t;t;2t - 3} \right).\left( {1;1;2} \right) = 0\Leftrightarrow t + t + 4t - 6 = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$
$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {1;1; - 1} \right) \right.$
Phương trình đường thẳng $\Delta$đi qua A và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{AM}$ là:$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{- 1}$