Đề bài
Một căn bệnh có $1\text{\%}$ dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\text{\%}$. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\text{\%}$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng $99$ trong $100$ trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu? Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là $0,5$
$0,4$.
$0,35$.
$0,5$.
$0,65$.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Người đó mắc bệnh”, B là biến cố: “Người đó có kết quả dương tính”
Theo đề bài ta có: $\left. P(A) = 0,01\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = 0,99\, \right.$
$\left. P\left( B \middle| A \right) = 0,99;P\left( \overline{B} \middle| \overline{A} \right) = 0,99\Rightarrow P\left( B \middle| \overline{A} \right) = 0,01 \right.$
Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là: $P\left( A \middle| B \right) = \dfrac{P\left( B \middle| A \right).P(A)}{P\left( B \middle| A \right).P(A) + P\left( \overline{A} \right).P\left( B \middle| \overline{A} \right)} = \dfrac{0,99.0,01}{0,99.0,01 + 0,99.0,01} = 0,5$