Đề bài
Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( {- 1 \leq x \leq 1} \right)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích $V$ của vật thể đó là
$V = 3\sqrt{3}$.
$V = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
$V = \pi$.
$V = \sqrt{3}$.
Phương pháp giải
Tìm cạnh của thiết diện tam giác đều rồi tính diện tính theo x
Sử dụng công thức tính thể tích: $V = {\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}}$ và công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh a là $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$
Lời giải chi tiết
Hình trên mô tả mặt đáy hình tròn bán kính 1 của vật thể
Khi đó AB là một cạnh của thiết diện tam giác đều và OM = x, OA = 1
$\left. \Rightarrow AB = 2AM = 2\sqrt{1 - x^{2}} \right.$
Diện tích thiết diện tam giác đều là: $S(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.4\left( {1 - x^{2}} \right) = \sqrt{3}\left( {1 - x^{2}} \right)$
Thể tích vật thể là $V = {\int\limits_{- 1}^{1}{\sqrt{3}\left( {1 - x^{2}} \right)dx}} = \sqrt{3}\left( {x - \dfrac{x^{3}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l} 1 \\ {- 1} \end{array} \right. = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$