Biểu diễn M, N theo hai tham số. Hai đường thẳng vuông góc có tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0. 

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {M\left( {t_{1};t_{1};2t_{1}} \right)} \\ {N\left( {3t_{2} + 2;2t_{2};t_{2}} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {t_{1} - 1;t_{1} - 2;2t_{1} - 3} \right)} \\ {\overset{\rightarrow}{AN} = \left( {3t_{2} + 1;2t_{2} - 2;t_{2} - 3} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = k\overset{\rightarrow}{AM} = h\overset{\rightarrow}{AN} \right.$

Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {1;1;2} \right),\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {3;2;1} \right)$

Do $\left. \Delta\bot d_{1}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{u_{1}} = 0\Rightarrow a + b - 2 = 0\,\,\,(1) \right.$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {a;b; - 1} \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + at} \\ {y = 2 + bt} \\ {z = 3 - t} \end{array} \right.$

Gọi M là giao điểm của $\left. \Delta\,\,\text{và}\,\, d_{2}\Rightarrow M\left( {1 + at,2 + bt,3 - t} \right) \in d_{2} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1 + at - 2}{3} = \dfrac{2 + bt}{2} = \dfrac{3 - t}{1}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2 + bt = 6 - 2t} \\ {1 + at - 2 = 9 - 3t} \end{array} \right.\Leftrightarrow\dfrac{4}{b + 2} = \dfrac{10}{a + 3} = t\Leftrightarrow 4a - 10b = 8\,\,(2) \right.$

Từ (1) và (2) $\left. \Rightarrow a = 2,b = 0\Rightarrow a^{3} + b^{3} = 8 \right.$