Đề bài
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh $X$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\text{\%}$ và một loại xét nghiệm $Y$ mà ai mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm $Y$ cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\text{\%}$ những người không bị bệnh $X$ lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Xác suất người đó bị mắc bệnh $X$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
$0,3$.
$0,03$.
$0,04$.
$0,4$.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “người đó mắc bệnh X”, B là biến cố: “người đó có xét nghiệm Y dương tính”
Theo đề bài ta có: $P(A) = 0,002;P\left( B \middle| A \right) = 1;P\left( B \middle| \overline{A} \right) = 0,06$
Xác suất người đó mắc bệnh X, nếu biết người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là:
$P\left( A \middle| B \right) = \dfrac{P\left( B \middle| A \right).P(A)}{P\left( B \middle| A \right).P(A) + P\left( B \middle| \overline{A} \right).P\left( \overline{A} \right)} = \dfrac{1.0,002}{1.0,002 + 0,06\left( {1 - 0,002} \right)} \approx 0,03$